Le projet Lexicon est un projet international qui vise à préciser le vocabulaire à la disposition des enseignants de mathématiques pour décrire ce qui se passe dans une séance de classe, dans différentes langues et cultures. Un premier lexique a été élaboré par un collectif d'enseignants et de chercheurs dans chacun des 9 pays participant à ce projet. Il est constitué de termes ou expressions accompagnés de descriptions, souvent complétées par des commentaires (en bleu) et des exemples et non-exemples (en rouge).

Il est maintenant très important de recueillir l'avis d'un plus grand nombre d'enseignants et formateurs pour évaluer la pertinence de ce lexique. C'est pourquoi un questionnaire en ligne a été mis au point collectivement.

Votre avis nous sera très précieux.

Merci d'avance pour le temps que vous consacrerez à répondre à ce questionnaire.

Les termes ou expressions suivantes du lexique français sont donnés avec leur description.

Pour chacun des termes, pouvez-vous nous dire :

- si vous êtes familier avec ce terme

- si vous l'utilisez, ou l'entendez dans des conversations avec des collègues

- s'il correspond selon vous à des pratiques fréquentes

Avez-vous des suggestions à faire pour améliorer sa description, les exemples et non exemples associés ?

Terme 1 : Situation d'action

Situation où l’interaction des élèves avec le milieu permet de faire émerger des modèles d’action et de tester leur validité.

Par extension, on utilise le terme de phase d’action dans une situation didactique.

Exemple 1 : la situation du puzzle de Brousseau (cf. situation didactique / adidactique) est une situation d’action. Des modèles d’action apparaissent, en premier lieu le modèle additif (ajouter 3 cm à toutes les mesures) et il est disqualifié car les formes ne sont pas conservées et les pièces ne s’ajustent pas.

Exemple 2 : la première situation de la course à 20 de Brousseau est aussi une situation d’action. Les élèves jouent par deux dans la classe. Le premier joueur dit 1 ou 2, le suivant ajoute 1 ou 2 à ce nombre, et ainsi de suite en alternant ; le premier qui dit 20 gagne la partie et marque un point. Le jeu permet de faire émerger l'idée que certains nombres sont "gagnants".

Terme 2 : Classe inversée

Forme d’enseignement qui inverse la nature des activités d’apprentissage menées à la maison et en classe. Les élèves étudient le cours chez eux et le temps de la classe est principalement consacré à la résolution accompagnée d’exercices, souvent en petits groupes.

Exemple : l’enseignant demande aux élèves de visionner à la maison une capsule vidéo qui présente le théorème de Pythagore et de répondre en ligne à un quizz associé. En classe, il propose ensuite aux élèves de résoudre en groupes des exercices sur ce thème et apporte les aides nécessaires.

Non-exemple : les élèves utilisent en classe une base d’exercices en ligne pour travailler de façon autonome sur le théorème de Pythagore, après une introduction du thème par l’enseignant.

Terme 3 : Changer de registre de représentation (choisir un registre) 

Associer à des objets, relations, processus mathématiques exprimés dans un registre de représentation donné une représentation d’un autre registre.

Exemple : passer de la représentation algébrique d’une fonction à une représentation graphique ou tabulaire, ou l'inverse.

Non-exemple : tracer la représentation graphique de la somme de deux fonctions à partir de leurs représentations graphiques (il s’agit d’un traitement interne au registre graphique).

Terme 4 : Organiser, gérer l’orchestration instrumentale

Action de l'enseignant pour agencer systématiquement et intentionnellement les artefacts disponibles dans un environnement technologique donné, pour la mise en œuvre d’une activité mathématique donnée.

Une orchestration instrumentale est caractérisée par des configurations d’artefacts et les modes d’exploitation didactiques associés, qui peuvent varier suivant les différentes phases d’une séance. Différents types d’orchestration instrumentale ont été identifiés. 

Exemple 1 : l’enseignant utilise un tableau interactif pour projeter, faire commenter et discuter des travaux d’élèves dans une phase de bilan.

Exemple 2 : les élèves travaillent en groupe de façon autonome avec leur calculatrice, papier et crayon, l’enseignant circule dans la classe et note sur sa tablette des éléments pour organiser un bilan collectif.

Terme 5 : Gérer la prise de notes

Action de l'enseignant visant à organiser la prise de notes qui seront associées à l’activité de la classe, à la fois au niveau collectif et individuel.

Exemple : l’enseignant écrit au tableau la synthèse de la séance avec différentes couleurs pour faciliter la prise de notes des élèves et mettre en valeur les aspects importants. Il peut aussi dicter la synthèse.

Non-exemple : la prise de notes est libre et entièrement à la charge des élèves.

Terme 6 : Enrôler

Action de l’enseignant visant à engager l’intérêt et l’adhésion des élèves envers les exigences de la tâche prescrite.

L'enrôlement se construit en installant les élèves dans une posture d’élèves, en orientant leur activité vers ce qui se passe en classe, les tâches données et les interventions de l’enseignant, et en maintenant cette orientation.

Exemple : l’enseignant remarquant qu’un élève « rêve » en classe, lui demande de lire à haute voix l’énoncé de la tâche suivante.

Non-exemple : l'enseignant isole un élève qui perturbe la classe.

Terme 7 : Présenter, rédiger des solutions

Action de l'enseignant ou des élèves visant à formuler oralement ou par écrit et sous une forme déterminée une solution d'un problème.

Exemple 1 : les élèves proposent une phrase de réponse au problème posé.

Exemple 2 : l'enseignant écrit au tableau la réponse telle qu'il souhaite voir les élèves la rédiger dans leurs productions.

Terme 8 : Dévolution

Acte par lequel l'enseignant fait accepter à l’élève la responsabilité de la résolution dans une situation d'apprentissage et accepte les conséquences de ce transfert de responsabilité.

C'est un terme de la théorie des situations didactiques. Pour assurer la dévolution d’une situation adidactique, l’enseignant doit susciter l’intérêt des élèves, leur faire comprendre qu’il souhaite qu’ils assument la responsabilité mathématique de la situation et qu'ils en sont capables. Il doit aussi s’assurer que les élèves comprennent en quoi consiste le jeu adidactique proposé.

Exemple 1 : dans la course à vingt, pour assurer la dévolution, l'enseignant joue quelques parties contre des élèves.

Exemple 2 : dans la situation du puzzle, l'enseignant affiche au tableau un puzzle qui est un agrandissement de celui distribué aux élèves. Il pourrait afficher le même puzzle avec des tailles différentes. Il donne directement la règle : le segment qui mesure 4cm sur le modèle doit mesurer 7cm sur le puzzle agrandi, et précise l’organisation du travail.

Terme 9 : Moments de l'étude

Différents moments didactiques associés à l’enseignement d’une organisation mathématique dans la théorie anthropologique du didactique (TAD) : moment de première rencontre avec un type de tâche de cette organisation, moment d’exploration du type de tâche et d’élaboration d’une technique, moment de constitution de l’environnement technologico-théorique, moment du travail de la technique, moment de l’institutionnalisation, moment de l’évaluation.

Cette description est basée sur la modélisation des pratiques mathématiques en termes de praxéologies de la TAD. Celles-ci sont constituées d’un type de tâche, d’une technique de résolution, d’un discours explicatif et justificatif dit technologique et d’une théorie à laquelle se réfère ce discours. L’ordre de ces six moments dans la chronologie d’une séquence d'enseignement n’est pas nécessairement celui ci-dessus et plusieurs séances peuvent contribuer à un même moment.

Terme 10 : Rappeler

Remettre en mémoire des connaissances anciennes ou des épisodes vécus utiles à l'activité mathématique en cours.

Exemple 1 : l'enseignant fait rappeler les méthodes utilisées à une séance précédente pour résoudre un problème analogue.

Exemple 2 : pendant une phase de travail individuel, l'enseignant rappelle à un élève certains détails d'une technique déjà enseignée.

Non-exemple : l'enseignant utilise une connaissance vue dans le cours précédent, sans faire de lien explicite.

Les descriptions suivantes correspondent à des termes du lexique français. Elles sont parfois accompagnées de commentaires en bleu et d'exemples ou de non-exemples en rouge.

Pourriez-vous associer un ou des termes à chacune de ces descriptions ? Les termes proposés peuvent être des noms, des verbes, des expressions.

Vous pouvez en proposer plusieurs ; dans ce cas, ordonnez-les en plaçant d’abord ceux qui vous semblent les plus fréquemment utilisés

Description 1 :  Activité visant en général à motiver l’introduction d’une notion nouvelle, et à la faire apparaître comme outil de résolution d’un problème ou d’une classe de problèmes.

Exemple : activité "Alice et Bertand" qui permet de montrer l’insuffisance de la démarche arithmétique et la nécessité d’introduire la démarche algébrique pour résoudre des équations du premier degré à une inconnue du type ax+b = cx+d, la solution étant rationnelle. Il s'agit de rechercher le nombre pour lequel deux programmes de calcul donnent le même résultat, en jouant sur les valeurs de a, b, c et d, les solutions étant d'abord des nombres entiers, puis des décimaux et des rationnels.

Non-exemple : activité qui présente comme objet une nouvelle notion sans la motiver comme outil de résolution d’un problème ou d’une classe de problèmes.

Description 2 :  Problème qui possède les caractéristiques suivantes : un énoncé court qui n’induit ni méthode standard, ni solution-type, qui ne peut être résolu par application immédiate de résultats connus, dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves sont familiers.

De tels problèmes sont utilisés pour faire travailler des compétences transversales et développer chez les élèves une démarche scientifique : explorer, faire des essais, conjecturer, tester, prouver.

Exemple 1 : trouver les deux derniers chiffres de 2222.

Exemple 2 : on décompose l’entier 10 en somme d’entiers positifs (par ex. 10=3+5+2). Puis on calcule le produit des termes de la somme (ici 3x5x2=30). Quel est le plus grand produit possible ? Et pour 24 ? Et pour un entier n quelconque ?

Non-exemple : exercice d’application.

Description 3 :  Phase qui précède l’activité mathématique proprement dite, pendant laquelle l’enseignant accueille les élèves, gère des questions diverses.

Ce début de séance obéit souvent à un certain rituel propre à une classe ou partagé au sein d’un établissement. Cette phase vise à organiser un climat de confiance dans la classe.

Exemple 1 : les élèves attendent l'enseignant à l’entrée de la classe. L'enseignant les fait rentrer. Les élèves attendent avant de s’asseoir puis s’assoient à sa demande. L'enseignant fait l’appel, répond aux questions et vérifie les carnets de correspondance s’il y a lieu.

Exemple 2 : les élèves rentrent dans la classe et s'installent. Il n’y a pas d’appel et l’enseignant vérifie la présence des élèves à partir de la liste d’appel. L'enseignant demande aux élèves de sortir leurs cahiers et de rappeler les exercices à chercher pour aujourd'hui.

Description 4 :  Associer à un thème ou contexte donné une ou des questions mathématiques précises.

L’accent est mis de plus en plus par l’institution scolaire sur l’importance de la problématisation et l’importance d’y associer les élèves.

Exemple 1 : à partir de données concernant des abonnements, avec ou sans achat, de téléphones tactiles, faire formuler des questions permettant d’évaluer leurs coûts respectifs et de les comparer.

Exemple 2 : pour comparer un ensemble de pavages du plan, amener les élèves à s’interroger sur les transformations géométriques qui les laissent invariants.

Non-exemple : donner aux élèves un problème précis à résoudre, par exemple, déterminer le nombre de diagonales d’un polygone convexe en fonction de son nombre de côtés.

Description 5 :  Etablir des relations entre domaines mathématiques, tâches, techniques, représentations, énoncés…

Exemple : mettre en relation le théorème de Thalès et l’homothétie dans le domaine géométrique, les situations de proportionnalité dans le domaine numérique, et les fonctions linéaires dans le domaine algébrique.

Non-exemple : généraliser à de nouveaux nombres la recherche de critères de divisibilité.

Description 6 :  Action de l'enseignant pour reposer, en la reformulant éventuellement, une question qui n’a pas obtenu de réponse, ou de réponse satisfaisante.

Exemple 1 : l’enseignant redemande : « Qui veut présenter sa solution au tableau ? » en espérant qu’à la deuxième fois il y aura un volontaire.

Exemple 2 : l’enseignant repose une question déjà posée, en la précisant, afin de guider l’attention des élèves vers un détail spécifique. 

Description 7 :  Action de l'enseignant visant à donner l’accès à des ressources matérielles ou à des outils pour aider l'élève dans une tâche.

Exemple 1 : l’enseignant propose une maquette pour aider les élèves à visualiser une situation de géométrie de l’espace.

Exemple 2 : l’enseignant fournit aux élèves du papier millimétré pour tracer une représentation graphique précise.

Exemple 3 : L’enseignant propose un rapporteur pour mesurer des angles. 

Description 8 :   Action de l'enseignant visant à répondre à un incident lié au processus d'apprentissage des élèves.

De manière générale, une erreur d’élève n’est pas considérée comme un incident, d’autant moins si elle a été anticipée par l’enseignant.

Exemple : un élève refuse une réponse correcte parce qu’il a une conception erronée de la notion en jeu et l'enseignant organise une discussion collective sur ce refus.

Non-exemple : un élève refuse de travailler en groupe avec d’autres élèves. 

Description 9 :  Un concept mathématique est vu comme outil quand on se centre sur son usage pour résoudre des problèmes, vu comme objet quand on le considère comme objet culturel, élément du savoir savant.

Cette distinction et le fait qu’un concept apparaisse d’abord en mathématiques comme outil implicite puis explicite avant de prendre le statut d’objet est à la base de la stratégie d’enseignement développée par R. Douady et connue sous le nom de dialectique outil-objet.

Exemple : quand on utilise le concept d’équation pour résoudre des problèmes, ce concept intervient comme outil ; quand on travaille sur les transformations qui préservent l’équivalence des équations, on travaille ce concept comme objet.

Les termes ou expressions suivantes du lexique français sont donnés sans description.

Pour chacun des termes, pouvez-vous nous dire :

- si vous êtes familier avec ce terme

- si vous l'utilisez, ou l'entendez dans des conversations avec des collègues

- s'il correspond selon vous à des pratiques fréquentes

Pourriez-vous en proposer une description ?

Terme 1 : Exercice d'application

Terme 2 : Exercice de révision

Terme 3 : Bilan, synthèse

Terme 4 : Cours magistral

Terme 5 : Conjecturer

Terme 6 : Contrat didactique

Terme 7 : Observer (repérer) le travail des élèves

Terme 8 : Reformuler

Terme 9 : Aide conceptuelle

Terme 10 : Evaluation diagnostique

Pour chacun des termes suivants, indiquez votre degré de familiarité.

Pour chacune de ces catégories, avez-vous de nouveaux termes à rajouter ?